緣起
把一個立體沿著稜線剪開、攤平成一片，得到的圖叫展開圖（net）。這種畫法最早見於 1525 年杜勒（Albrecht Dürer）的《量度四書》（Underweysung der Messung）——他把多面體攤開來畫，讓工匠照圖裁切、摺回立體。幾百年來大家理所當然地這樣做，沒人問過：這件事是不是永遠做得到？[1]
1975 年，英國幾何學家 Geoffrey C. Shephard 在論文〈Convex polytopes with convex nets〉裡把這個直覺寫成一個明確的問題：[2]
Shephard 猜想：任何凸多面體，都存在至少一種沿邊剪開的方式，使得攤平後的展開圖不會自我重疊。
「沿邊剪開」等價於在多面體的面之間選一棵生成樹（spanning tree）：樹上的邊是摺線（鉸鏈），其餘的邊全部剪開。一個多面體有非常多棵生成樹，猜想只要求其中一棵攤平後不重疊。因為問題可以追溯到杜勒，文獻上也常叫它杜勒問題（Dürer's problem）。[1][3]
這個工具在做什麼
- 切法就是一棵生成樹。你在立體上點面，就是在面—面相鄰圖上長一棵樹：樹上的邊當鉸鏈展開，不在樹上的邊被剪開。這是攤平演算法的標準做法，不是近似。攤平本身用剛體旋轉配準（每個子面沿共用邊貼到父面旁邊），邊長不失真。
- 重疊偵測用凸多邊形的分離軸定理（SAT）。共用一條鉸鏈邊的兩個面本來就會貼在一起，所以跳過不檢查——為什麼可以跳過，下面「瓶頸在哪」會說。
- 五種柏拉圖立體：正四面體／立方體／正八面體用手動指定的面；正十二面體／正二十面體只手動給了頂點座標（黃金比例構造），面則是先算真正的 3D 凸包（三角化），再把法向量相同的三角形合併回正確的多邊形——沒有手動輸入過面的頂點順序，降低記錯資料的風險。
- 「隨機凸多面體」用真正的 3D 凸包演算法（incremental hull）現場算：隨機灑點、算凸包、自動修正法向朝外——不是預先畫好的形狀。上線前在瀏覽器外用歐拉公式（V − E + F = 2）、法向一致性、所有點都在凸包內三項測試跑了幾十次隨機案例驗證這個演算法，都通過。
- 「角缺陷」層：每個頂點 θ = 360° − 聚在該頂點的面內角總和。缺角是頂點的內在性質，跟切法無關；切法只決定它在展開圖上會不會被切散。沒被切散的頂點標橘色，缺角就是那裡少掉的一塊紙。
已知的事
- 不是每棵生成樹都行。即使是簡單的凸多面體，隨便選一棵生成樹，攤平後很容易撞在一起；面越多，隨機剪法重疊的機率越高。猜想說的是「存在一棵好的」，不是「每一棵都好」。[3]
- 放寬剪法就沒問題了。如果允許剪線穿過面的內部（不限於沿邊），星形展開（star unfolding）與源點展開（source unfolding）已被證明對任何凸多面體都不重疊。難的只在「限定沿邊」這一條。[4][3]
- 拿掉凸性就有反例。非凸多面體可以構造出「怎麼沿邊剪都會重疊」的例子——即使每個面本身都是凸多邊形。所以凸性不是可有可無的假設，是猜想成立的關鍵。[5]
- 拉一拉就能解。Ghomi（2014）證明：任何凸多面體，只要施加一個適當的仿射變換（沿某方向拉長），就變成沿邊可展開的。這說明重疊是幾何度量的問題，不是拓撲結構的問題。[6]
- 電腦能驗個案，不能驗全部。對於特定的多面體，窮舉生成樹可以確認「有好的剪法」；但凸多面體有無窮多種，逐一驗證不構成證明。
瓶頸在哪
凸多面體的「凸」給了兩個局部條件：每個頂點的角缺陷 θ > 0（頂點是尖的），每條邊的二面角小於 180°（沿邊摺的方向是「打開」）。這兩個條件足以保證：
- 共用一條邊的兩個面，攤平後一定落在那條邊的兩側，不重疊；
- 共用一個頂點的幾個面，繞著那個頂點攤開後總角度不到 360°，留下 θ 的空隙，也不重疊。
也就是說，凡是相鄰的面，凸性都已經替它們擔保了——這也是工具裡重疊檢查可以跳過相鄰面的原因。真正沒有任何條件管的，是完全不相鄰（既不共邊也不共頂點）的兩個面。它們各自沿生成樹繞了一長串轉折才到達最終位置，途中每一步只保證「跟自己的父面不重疊」，沒有任何機制保證繞了一大圈之後，兩塊原本八竿子打不著的面不會剛好疊在一起。
局部的部分已經被凸性鎖死，開放的只剩全域這一塊——這就是猜想五十年來只能靠電腦驗證個案、還沒有一般性證明的原因。
順帶一提，所有頂點的角缺陷加總，對任何凸多面體都恰好是 720°（4π）——這是 Descartes 定理，離散版的高斯–博內定理。工具裡開「角缺陷」就會即時驗證。[7]
實驗筆記
老實說一個測試發現：不管是三個手動指定的正多面體、拉長變形的版本，還是幾十個隨機凸包，跑了幾千次隨機展開樹，沒有出現過一次重疊。這跟數學界的實際經驗一致——大量電腦實驗都沒找到反例，這正是 Shephard 猜想至今仍只是「猜想」而非「已被推翻」的原因，不是這個原型的缺陷。面數更多、形狀更扁的凸多面體，隨機剪法重疊的機率會明顯上升；想看到紅色，可以試著自己設計一棵繞遠路的生成樹。
這個原型目前只放了凸多面體，沒有示範非凸的反例。
參考
- [1] Wikipedia: Net (polyhedron)——展開圖的歷史（杜勒）與 Shephard 猜想現況。
- [2] Shephard, G. C. (1975). Convex polytopes with convex nets. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 78(3), 389–403. doi:10.1017/S0305004100051860（出版社頁面常擋，備援：zbMATH Open Zbl 0312.52011／Semantic Scholar）
- [3] Demaine, E. D., & O'Rourke, J. (2007). Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra. Cambridge University Press. 第 22 章專論邊展開與杜勒問題。gfalop.org
- [4] Aronov, B., & O'Rourke, J. (1992). Nonoverlap of the star unfolding. Discrete & Computational Geometry, 8, 219–250. doi:10.1007/BF02293047
- [5] Bern, M., Demaine, E. D., Eppstein, D., Kuo, E., Mantler, A., & Snoeyink, J. (2003). Ununfoldable polyhedra with convex faces. Computational Geometry, 24(2), 51–62. doi:10.1016/S0925-7721(02)00091-3／arXiv:cs/9908003
- [6] Ghomi, M. (2014). Affine unfoldings of convex polyhedra. Geometry & Topology, 18(5), 3055–3090. doi:10.2140/gt.2014.18.3055／arXiv:1305.3231
- [7] Wikipedia: Angular defect——Descartes 定理 Σθ = 4π。
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